CNIV 2014

Cum trebuie predate matematica şi informatica? Schimbarea trebuie să pornească din universităţi - Juraj Hromkovic


BUCUREŞTI, 10 NOIEMBRIE 2014, CNIV România


Textul de faţă este o provocare şi o invitaţie pentru comunitatea ştiinţifică şi didactică din România de a deveni unul dintre pionierii apropierii de o nouă şcoală a viitorului.

Articol adaptat din Revista Curtea de la Argeş, Anul V, Nr. 8 (45), August 2014 - http://www.curteadelaarges.ro/arhiva/V_8_45/V_8_45.pdf,

indexJuraj Hromkovic (născut în 1958, la Bratislava, Slovacia) este profesor universitar la ETH (Eidgenössische Technische Hochschule) Zürich, Elveţia, după ce a fost profesor la universităţi din Bratislava, Paderborn, Kiel şi Aachen (Germania). A publicat câteva zeci de monografii de informatică teoretică (teoria algoritmilor, complexitatea calculului, randomizare). În ultimii ani s-a dedicat educaţiei matematicii şi informaticii şi promovării informaticii către publicul larg, publicând, singur sau în colaborare, mai multe manuale şi cărţi informale de mare succes, unele traduse în mai multe limbi.

MOTTO: Matematica este cel mai puternic instrument pe care oamenii l-au dezvoltat pentru a investiga lumea din jurul nostru. Dar ea este predată în aşa fel încât elevii nu realizează acest lucru.

Ce este matematica?

Dacă pui întrebarea aceasta, vei primi o mulţime de răspunsuri diferite, adesea, chiar răspunsul că această întrebare este prea grea pentru a i se putea da un răspuns satisfăcător. Un matematician sau un student va spune cu mare probabilitate că el demonstrează teoreme şi astfel studiază structura şi proprietăţile obiectelor matematice artificiale, care sunt utile în a modela realitatea, sau relaţiile dintre diverse obiecte de acest fel. Un elev de liceu îţi va spune că matematica este constituită din calcule care pot fi folosite pentru a rezolva clase de sarcini matematice, numite şi probleme, cum ar fi rezolvarea de ecuaţii sau de sisteme de ecuaţii, sau analizarea proprietăţilor unei curbe. Evident, poţi primi şi răspunsul că matematica este ceva dificil de înţeles, astfel încât orice persoană „normală" poate trăi şi poate avea succes şi fără ea. Acesta este un răspuns frecvent, ba chiar, din nefericire, este mai mult o regulă decât o excepţie.

Cuvintele (noţiunile, conceptele, termenii) pe care le folosim sunt, din punct de vedere semantic, pietrele unghiulare ale oricărui limbaj

Matematica este cel mai puternic instrument pe care oamenii l-au dezvoltat pentru a investiga lumea din jurul nostru. Dar ea este predată în aşa fel încât elevii nu realizează acest lucru. În special în liceu, ei învaţă metode (algoritmi) pentru a rezolva anumite probleme (de exemplu, pentru a găsi maximul unei funcţii). Acest lucru poate fi văzut şi ca un fapt pozitiv, ca provocare intelectuală, deoarece multe dintre metode nu sunt uşor de aplicat. Partea proastă este însă că elevii pot învăţa să aplice cu succes metode pentru a rezolva diferite probleme fără a înţelege cu adevărat de ce aceste metode funcţionează aşa cum trebuie. Adesea, elevii de liceu nu au o bună intuiţie a ceea ce este infinitatea sau ideea de limită, dar ei folosesc aceste concepte în mod vag pentru a analiza funcţii artificiale, fără nicio legătură cu realitatea. Unde greşim? În multe locuri. Ar trebui să pornim de la a ne gândi mai întâi ce este matematica şi abia apoi să încercăm să găsim o cale prin care să o predăm în mod potrivit.

Limbajul matematicii este capabil să descrie obiecte, structuri, proprietăţi şi relaţii într-un mod neambiguu. În acest context vorbim despre puterea „descriptivă" a matematicii. În acest fel, oamenii au fost capabili şi să formuleze aserţiuni exacte şi să exprime astfel neambiguu cunoştinţele.

Din punctul meu de vedere, cel mai bun mod de a privi matematica este ca limbaj "special, dezvoltat pentru ştiinţă, adică pentru generarea de cunoaştere. Cu câteva mii de ani în urmă, oamenii doreau să descopere cunoştinţe „obiective". Cuvântul important aici este „obiectiv". Pentru a ajunge la aşa ceva, înainte de toate este nevoie de un limbaj în care orice enunţ să aibă o interpretare neambiguă pentru oricine stăpâneşte acel limbaj. Cum se poate obţine aşa ceva? Pentru început, trebuie să dăm un înţeles exact cuvintelor (noţiunilor) pe care le folosim, deoarece cuvintele sunt, din punct de vedere semantic, pietrele unghiulare ale oricărui limbaj. În acest context, matematica vorbeşte despre axiome. Mulţi oameni au părerea eronată că axiomele sunt presupuneri în adevărul cărora credem, dar pe care nu suntem în stare să le demonstrăm că sunt adevărate. Acest lucru este greşit. Axiomele sunt definiţii precise ale noţiunilor de bază care descriu intuiţia noastră asupra înţelesului acelor noţiuni. Probabil că primele concepte pe care oamenii au încercat să le fixeze au fost noţiuni precum număr, egalitate, infinit, punct, linie, distanţă etc. Ceea ce este foarte important de observat este că oamenii au avut nevoie de sute şi, în unele cazuri, mii de ani pentru a ajunge la definiţii de acest fel pe care comunitatea filosofilor şi, mai târziu, a matematicienilor să le accepte. Pentru ce toate acestea? În primul rând, limbajul matematicii este capabil să descrie obiecte, structuri, proprietăţi şi relaţii într-un mod neambiguu. În acest context vorbim despre puterea „descriptivă" a matematicii. În acest fel, oamenii au fost capabili şi să formuleze aserţiuni exacte şi să exprime astfel neambiguu cunoştinţele. Dar aceasta a fost numai o latură a limbajului matematicii. Acest limbaj a fost folosit şi pentru a deriva noi cunoştinţe din cunoştinţele existente, a devenit, deci, un generator de cunoaştere. Leibniz formula acest rol al matematicii într-un mod foarte sugestiv. El dorea să evite orice discuţie politică şi orice conflict din diferite comunităţi tocmai prin exprimarea problemelor reale în limbaj matematic, spre a folosi apoi calcule şi inferenţe logice pentru a obţine soluţia corectă.

Este interesant că el a numit această propunere „automatizarea" activităţii umane. Ştim acum că visul lui Leibniz nu se poate realiza. Există două motive pentru aceasta. Mai întâi, pentru că, din cauza exactităţii sale, limbajul matematicii este limitat în capacitatea sa descriptivă şi astfel nu putem traduce toate problemele din lumea reală în acest limbaj. Apoi, una dintre cele mai importante descoperiri ale ultimului secol, cea a lui Godel, spune că „puterea argumentaţională" a matematicii este mai redusă decât puterea sa descriptivă. Asta înseamnă că putem formula propoziţii matematice pentru care nu există demonstraţii că sunt sau nu adevărate. Atenţie! Acest lucru nu se întâmplă deoarece nu suntem noi în stare să demonstrăm sau să invalidăm acele propoziţii, ci asemenea demonstraţii pur şi simplu nu există, deci nimeni nu le poate găsi.

Ce au învăţat oamenii de ştiinţă de aici?

Dezvoltarea limbajului matematicii este asemănătoare dezvoltării limbajelor naturale

Avem nevoie să creăm noi cuvinte şi să le descriem înţelesul, pentru a mări puterea de descriere şi pentru a putea vorbi despre lucruri despre care nu puteam vorbi mai devreme. Mai mult, avem nevoie de noi concepte şi cuvinte pentru a putea raţiona asupra unor chestiuni despre care nu eram în stare să raţionăm mai devreme. Un foarte important aspect din procesul dezvoltării limbajului matematicii priveşte infinitatea. Atâta vreme cât numărul cuvintelor de bază, axiomatice, ale matematicii este finit, putem totdeauna formula propoziţii care nu sunt demonstrabile în acest limbaj şi trebuie să introducem noi cuvinte pentru a le demonstra şi astfel să putem face noi descoperiri. Un exemplu sugestiv este chiar noţiunea de infinit. Nimeni nu a văzut vreodată ceva infinit în lumea reală şi chiar şi fizicienii cred că universul însuşi este finit. Aceasta înseamnă că infinitul este o noţiune artificială, pur şi simplu un produs artificial al matematicii. Dar, fără acest concept, mare parte a ştiinţei curente nu ar exista. Fără noţiunea de infinit, nu ar exista conceptul de limită şi astfel nu am fi în stare să exprimăm exact noţiuni precum cea de viteză şi acceleraţie. Ştiinţa noastră ar fi rămas undeva înainte de descoperirile lui Newton. Aşadar, fără conceptul „artificial" de infinitate am fi puternic restricţionaţi în capacitatea noastră de a descoperi lumea reală, finită.
Un alt exemplu de noţiune crucială este conceptul de probabilitate. Majoritatea ştiinţelor, chiar şi cele neexacte, precum pedagogia, psihologia, medicina şi economia, folosesc din plin acest concept pentru a modela şi studia realitatea, iar dacă ele ar face predicţii fără a avea acest concept, ar avea serioase probleme în a convinge societatea că rezultatele lor sunt de încredere într-o măsură sau alta, şi nu sunt numai opinii ale unor experţi.
De ce m-am oprit la punctele de vedere privind matematica discutate mai sus? Pentru că tocmai natura matematicii este cea care ne arată ce schimbări sunt necesare pentru a îmbunătăţi educaţia matematică pentru orice persoană.

Pe această bază, recomand adoptarea următoarelor idei:

  1. Să ne concentrăm mai mult pe geneza noţiunilor (conceptelor) fundamentale ale matematicii. Pentru a le defini a fost nevoie de secole, pentru a demonstra majoritatea teoremelor au fost necesari doar câţiva ani. Fiecare concept nou a făcut posibilă investigarea atâtor lucruri că nicio descoperire nu poate concura cu introducerea unui concept fundamental. Extinderea matematicii ca instrument de cercetare este principala sarcină a matematicii, iar derivarea de noi concepte matematice furnizează cea mai bună imagine a naturii sale reale. Fără aceasta, nimeni nu poate înţelege cu adevărat rolul şi utilitatea sa. Numai dacă înţelegem geneza matematicii ca dezvoltare a unui limbaj al ştiinţei şi ca un instrument de cercetare, putem să o aplicăm curent în toate domeniile vieţii noastre. Predarea matematicii în acest spirit poate schimba complet comportarea membrilor societăţii din jur. În loc de a memora şi a exemplifica fapte date dinainte, se va începe verificarea gradului de adevăr al afirmaţiilor prezentate ca fiind cunoaştere şi înţelegerea măsurii şi a condiţiilor în care cineva poate lua aceste afirmaţii în serios.
  2. Mai întâi exemple concrete, abstractizarea urmând ca descoperire finală. Trebuie la început „pipăite" cazuri particulare de probleme şi obiecte concrete pentru a obţine o anume intuiţie asupra proprietăţilor lor. Apoi, intuiţia se poate formaliza printr-un concept formal. Trebuie urmată calea naturală a descoperirilor, care de obicei merge
    de la concret la abstract
    . A preda metode şi teoreme ca produse finale este la fel de nepotrivit ca a preda manuale pentru maşini de spălat sau pentru Microsoft Office, în loc de a preda descoperirile din fizică, mecanică şi electronică aflate la baza dezvoltării acestor produse.
  3. Să predăm algoritmica (teoria algoritmilor), în locul antrenării metodelor de calcul. In şcoală, elevii învaţă să înmulţească numere întregi arbitrar de mari, să rezolve ecuaţia de gradul doi şi sisteme de ecuaţii liniare, sau să analizeze funcţii etc. şi, în toate cazurile, ei învaţă cum să folosească aceste proceduri, dar cei mai mulţi dintre ei nu înţeleg de ce ele funcţionează. Este mai mult o provocare pentru memorie decât o înţelegere de profunzime a naturii algoritmilor utilizaţi. Trebuie început prin a introduce probleme în loc de a prezenta metode pentru rezolvarea lor şi trebuie cerut elevilor mai întâi să rezolve cazuri particulare de probleme concrete. Descoperirea algoritmilor ca proceduri funcţionale de calcul oferă o altă calitate educaţiei matematice decât executarea unei metode date de calcul, sarcină pe care un calculator de buzunar o poate îndeplini mai repede şi mai fără erori. Trebuie predată programarea ca artă a descrierii exacte, în limbajul maşinilor, într-un mod neambiguu, a metodelor descoperite plecând de la exemple, şi astfel se va cultiva şi capacitatea de a comunica exact.
  4. Trebuie învăţate principiile argumentării corecte, noţiunile de implicaţie şi cuantificatori, demonstraţia directă şi indirectă. Nu trebuie crezut că elevii de liceu nu pot învăţa să verifice şi să producă demonstraţii simple. Ei nu au făcut acest lucru în trecut pentru că mare parte a efortului în această direcţie a fost îndreptat greşit.
  5. Trebuie asigurată posibilitatea ca elevii să lucreze asupra subiectelor tratate de atâtea ori cât au nevoie şi în ritmul lor individual. Matematica este una dintre ştiinţele în care este nevoie de un mare număr de abordări repetate a unor subiecte particulare, înainte ca cineva să strige „Evrika" şi să obţină o înţelegere rezonabilă a ceea ce are în faţă. Dificultatea este că niciun profesor nu poate asigura acest lucru pentru fiecare elev din clasă. O altă problemă este că cele mai multe manuale de matematică sunt bune colecţii de exerciţii, dar explicaţiile sunt scrise mai mult pentru profesori decât pentru elevi. O soluţie este schimbarea stilului manualelor. Ele trebuie scrise în aşa fel încât elevii să poată învăţa din ele singuri, cu un ajutor minim din afară. Divizând descoperirile într-un număr de mici paşi naturali, scrişi în limbajul stăpânit de elevi la vârsta respectivă, şi dând cu regularitate posibilitatea de a verifica dacă ei au înţeles corect ideile de până acum sunt câteva dintre principiile de bază folosite pentru a produce manuale de matematică de calitate.

Mişcarea trebuie să pornească din universităţi

Ne putem întreba cum se poate ajunge la acest stil nou, descris mai devreme, de a preda matematica. Cu siguranţă, nu se poate cere profesorilor de liceu să facă această schimbare fără a le arăta în detaliu cum se poate face acest lucru. La fel, nu se poate cere celor implicaţi în managementul educaţiei, care nu au o cunoaştere suficient de adâncă a matematicii, să conducă această schimbare. Mişcarea trebuie să pornească din universităţi, şi chiar aici trebuie schimbat, pentru prima dată, stilul de predare. Pentru a accelera acest proces în Elveţia, în departamentul nostru de la ETH Zürich elaborăm noi manuale pentru predarea diverselor ramuri ale matematicii şi informaticii pentru şcolile de toate nivelurile. Experimentele noastre demonstrează că matematica poate deveni unul dintre subiectele favorite ale elevilor şi studenţilor, dacă ea este predată în modul descris mai sus. Studenţii pot face faţă unor subiecte care erau considerate înainte prea grele pentru ei, iar notele la matematică pot fi semnificativ mai mari decât media notelor la celelalte discipline. Textul de faţă este o provocare şi o invitaţie pentru comunitatea ştiinţifică şi didactică din România de a deveni unul dintre pionierii apropierii de o nouă şcoală a viitorului.
Pentru mine, nu este o întrebare dacă evoluţia propusă a educaţiei în matematică va deveni realitate, ci este doar o chestiune de timp când o ţară sau alta va fi nevoită să adopte această strategie. Pentru că aceasta este în beneficiul generaţiilor viitoare, cu cât mai repede, cu atât mai bine.